高等数学（下）期末复习：14.10 含有 Constrained 变量的偏导数
之前讨论的多元函数的偏导数问题都是关于独立变量的，但是变量之间也可能相互约束。例如，气体的内能表达式为 $U = f (P,V,T)$，但是变量之间又受制于理想气体定律 $PV = nRT$。
求解有限制条件的多元函数的偏导数
求偏导数的一个问题是，确定哪些变量是独立的，哪些变量是依赖于其他变量的。例如，有 4 个变量，2 个限制条件的式子，就只能解出用两个独立变量表达另外两个受制变量的式子，进而求偏导数。独立变量不同，求出的结果具有完全不同的含义。
确定独立变量之后，便进行消元，将因变量用自变量表示出来，然后求导。
如果直接进行代换消元比较难，可以先在约束条件式子两侧同时取微分，然后再求解所需要的偏导数。
记法 [1]
$y$ 为独立变量，$w$ 对 $x$ 偏导数可以表示为
$$ \left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)_y $$
箭头图 [2]
求解含限制条件的多元函数的偏导数，比较 format 的方法是用箭头图。例如，现在已知
$$ \begin{cases} w = x^2 + y^2 + z^2 + \sin t \ x + y =t \end{cases} $$
$x$, $y$, $z$ 为独立变量，要求 $w$ 对 $x$ 的偏导数，可以画出箭头图
$$ \begin{matrix} \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} & \rightarrow & \begin{pmatrix} x \ y \ z \ t \end{pmatrix} & \rightarrow & w \ \color{blue}{\begin{matrix} \text{Independent} \ \text{variables} \end{matrix}} && \color{blue}{\begin{matrix} \text{Intermediate} \ \text{variables} \end{matrix}} && \color{blue}{\begin{matrix} \text{Dependent} \ \text{variable} \end{matrix}} \end{matrix} $$
中间这一块有点 tricky，想起教授说的一句很经典的话，“Always use Chain Rule”，其实也可以改成
$$ \begin{matrix} \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} & \rightarrow & \begin{pmatrix} x \ y \ z \ t \end{pmatrix} & \rightarrow & w \ \color{blue}{\begin{matrix} \text{Independent} \ \text{variables} \end{matrix}} && \color{blue}{\begin{matrix} \text{Intermediate} \ \text{variables} \end{matrix}} && \color{blue}{\begin{matrix} \text{Dependent} \ \text{variable} \end{matrix}} \ && \color{blue}{\begin{cases} u = x \ v = y \ s = z \ t = x + y \end{cases}} && \end{matrix} $$
最后的结果就相当于求全偏导数，即
$$ \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial w}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial s} \frac{\partial s}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial t} \frac{\partial t}{\partial x} $$