高等数学（下）期末复习：14.9 二元函数的泰勒公式

二阶导数判定的推导

二阶导数判定也就是用于判断、一个两个方向偏导数都为零的 critical point 是否是极值点的方法。

假设 $f (x, y)$ 在区域 $R$ 上一点 $P (a,b)$ 附近有连续的偏导数，并且满足 $f_x + f_y = 0$（是一个 critical point）。取一段微小的 increment $h$ 和 $k$，使得点 $S (a + h, b + k)$ 仍然落在区域 $R$ 内，再把线段 $PR$ 参数化，得到

$$ x=a+th,\quad y=b+tk,\quad 0\leq t \leq 1. $$

令 $F (t)=f (a + th,b + tk)$，由链式法则得到

$$ F’(t) = f_x \frac{dx}{dt} + f_y \frac{dy}{dt} = hf_x + kf_y. $$

前面已经假设 $f$ 的偏导数也是连续的，所以可以继续求导得到

$$ \begin{aligned} F’’ &= \frac{\partial F’}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial F’}{\partial y} \frac{dy}{dt} \ &= \frac{\partial}{\partial x}(hf_x + kf_y) \cdot h + \frac{\partial}{\partial y}(hf_x + kf_y) \cdot k \ &= h^2f_{xx} + 2hkf_{xy} + k^2f_{yy} \end{aligned}. $$

由于 $F$ 和 $F’$ 在 $t \in [0,1]$ 上都是连续的，并且 $F’$ 在 $t \in (0,1)$ 上可微，可以应用 $n = 2$，$a = 0$ 的泰勒公式（有一个拉格朗日型余项），得到

$$ \begin{aligned} F(1) &= F(0) + F’(0)(1 - 0) + F’‘© \frac{(1 - 0)^2}{2} \ &= F(0) + F’(0) + \frac{1}{2} F’'© \end{aligned}. $$

再重新换成 $f$ 来表示，得到

$$ \begin{aligned} f(a+h,b+k) =& f(a,b) + hf_x(a,b) + kf_y(a,b) \ &+ \left. \frac{1}{2} (h^2f_{xx} + 2hkf_{xy} +k^2f_{yy}) \right|_{(a+ch,b+ck)} \end{aligned}.* $$

这个式子随后会被多次用到

回到最原始的定义，在 $(a,b)$ 处到底有没有出现极值是由 $f (a + h,b + k) - f (a,b)$ 的符号决定的，将上式变形一下，也就是由下式的符号决定

$$ Q© = \left. (h^2f_{xx} + 2hkf_{xy} +k^2f_{yy}) \right|_{(a+ch,b+ck)}. $$

$(a + ch,b + ck)$ 代表 $PR$ 之间的某一个点

只要 $Q (0) \neq 0$，对于足够小的 $h$ 和 $k$，就可以作符号上的近似

$$ Q© \approx Q(0) = h^2f_{xx} + 2hkf_{xy}(a,b) +k^2f_{yy}(a,b). $$

这个近似的依据是极限，以及 $f$ 二阶偏导数的连续性

在式子两边同时乘上 $f_{xx}$。得到

$$ \begin{aligned} f_{xx}Q(0) &= f_{xx}[h^2f_{xx}(a,b) + 2hkf_{xy}(a,b) +k^2f_{yy}(a,b)] \ &= (hf_{xx} + kf_{xy})^2 + (f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2)k^2 \end{aligned}. $$

分类讨论几种情况：

1. 如果在 $(a,b)$ 上，$f_{xx} <0$ 且 $f_{xx} f_{yy}> f_{xy}^2$，那么对于足够小的 $h$ 与 $k$，$Q (0)<0$，$f$ 取得局域最大值；

2. 如果在 $(a,b)$ 上，$f_{xx} > 0$ 且 $f_{xx} f_{yy} > f_{xy}^2$，那么对于足够小的 $h$ 与 $k$，$Q (0)<0$，$f$ 取得局域最小值；

3. 如果在 $(a,b)$ 上，$f_{xx} f_{yy} < f_{xy}^2$，那么存在 $h$ 和 $k$ 的不同组合，使得 $Q (0)$ 的符号不确定，因此 $(a,b)$ 为鞍点；

4. 如果在 $(a,b)$ 上，$f_{xx} f_{yy} = f_{xy}^2$，那么 $Q (0)$ 可能为 0，必须进行其他的判别才能确定。

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线性近似的误差公式

前面的章节提到二元函数的标准线性近似为

$$ f(x,y) \approx L(x,y) = f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0). $$

假设 $f$ 在一个封闭的以 $(x_0,y_0)$ 为中心的矩形区域 $R$ 上具有连续的二阶偏导数

现在讨论的是线性近似的误差问题，可以在式 * 中作这样的代换

$$ \begin{cases} a = x_0 \ b = y_0 \ x - x_0 = h \ y - y_0 = k \end{cases}. $$

就可以得到结果

$$ \begin{aligned} f(x,y) =& \underbrace{ f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) }{\text{linearization } L(x, y)} \ &+ \underbrace{ \left. \frac{1}{2} \left [ (x - x_0)^2f{xx} + 2(x + x_0)(y - y_0)f_{xy} + (y - y_0)^2f_{yy} \right ] \right |{(x_0 + c(x - x_0), y_0 + c(y - y_0))} }{\text{error } E(x, y)} \end{aligned}. $$

也就是说，线性近似的误差会满足

$$ |E| \le \frac 12 \left( |x - x_0|^2|f_{xx}| + 2|x - x_0||y - y_0||f_{xy}| + |y - y_0|^2|f_{yy}| \right). $$

取 $M$ 为 $|f_{xx}|$, $|f_{yy}|$, $|f_{xy}|$ 的任意一个上界，得到

$$ \begin{aligned} |E| &\le \frac 12 \left( |x - x_0|^2M + 2|x - x_0||y - y_0|M + |y - y_0|^2M \right) \ &= \frac 12 M \left( |x - x_0| + |y - y_0| \right)^2 \end{aligned}. $$

也就是前面的章节提到的误差估算公式。

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二元函数的泰勒公式

前文推导出了关于 $F’$ 和 $F’'$ 的两个式子：

$$ \begin{aligned} F’ &= \left( h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y} \right)\cdot f \ F’’ &= \left( h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y} \right)^2 \cdot f = \left( h^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} + 2hk \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} + k^2 \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right) \cdot f \end{aligned} $$

实际上是另一个更为 general 的式子的一阶、二阶形式：

$$ F^{(n)}(t) = \frac {d^n}{dt^n} F(t) = \left( h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y} \right)^n f(x, y) $$

现在的情况是通过参数化把二元函数 $f (x,y)$ 变成一元函数 $F (t)$ 了，于是可以用前面的一元函数泰勒公式，转化得到二元函数的泰勒公式。

二元函数在点 $(a,b)$ 处的泰勒公式 假定 $f (x,y)$ 在一个以点 $(a,b)$ 为中心的开放矩形区域 $R$ 上有连续的直到 $n + 1$ 阶偏导数，那么在整个 $R$ 上有

$$ \begin{aligned} f(a + h, b + k) =& f(a, b) + \left. (hf_x + kf_y) \right|{(a,b)} \ &+ \frac{1}{2!} \left.( h^2f{xx} + 2hkf_{xy} + k^2f_{yy} )\right|{(a,b)} \ &+ \frac{1}{3!} \left. h^3f{xxx} + 3h^2kf_{xxy} + 3hk^2f_{xyy} + k^3f_{yyy} \right |{(a,b)} \ &+ … + \frac{1}{n!} \left. \left( h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y} \right)^n f \right |{(a,b)} \ &+ \frac{1}{(n+1)!} \left. \left( h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y} \right)^{n+1} f \right |_{(a + ch,b + ck)} \end{aligned} $$

余项即为在点 $(a,b)$ 到点 $(a + h,b + k)$ 间的某一点取值

$f (x,y)$ 在原点处的泰勒公式

$$ \begin{aligned} f(x, y) =& f(0, 0) + \left. (xf_x + yf_y) \right|{(a,b)} \ &+ \frac{1}{2!} \left.( x^2f{xx} + 2xyf_{xy} + y^2f_{yy} )\right|{(a,b)} \ &+ \frac{1}{3!} \left. x^3f{xxx} + 3x^2yf_{xxy} + 3xy^2f_{xyy} + y^3f_{yyy} \right |{(a,b)} \ &+ … + \frac{1}{n!} \left. \left( x \frac{\partial}{\partial x} + y \frac{\partial}{\partial y} \right)^n f \right |{(a,b)} \ &+ \frac{1}{(n+1)!} \left. \left( x \frac{\partial}{\partial x} + y \frac{\partial}{\partial y} \right)^{n+1} f \right |_{(cx,cy)} \end{aligned} $$

相当于麦克劳林展开式