高等数学（下）期末复习：15.3 由二重积分得到面积

这一节有关利用二重积分计算平面上有界区域的面积，以及二元函数的平均值。

平面上有界区域的面积

如果取二元函数的值为 $f (x,y)=1$，那么二重积分的黎曼和为

$$ S_n = \sum^n_{k=1} f(x_k.y_k)\Delta A_k = \sum^n_{k=1} \Delta A_k $$

也就是所有 partition 面积的和，取极限即为区域的总面积

$$ \lim_{||P||\rightarrow 0} \sum^n_{k=1} \Delta A_k = \iint_R dA $$

定义：平面上封闭、有界区域 $R$ 的面积为

$$ A = \iint_R dA $$

计算的方法则是将 $f (x,y)=1$ 在区域 $R$ 上积分。

均值

与单变量函数的均值类似，二元函数在某个区域 $R$ 上的均值可以表示为

$$ \frac{\iint_R fdA}{\iint_R dA} $$

也即 “体积除以底面积”