高等数学（下）期末复习：15.4 极坐标下的二重积分

有时将二重积分转换到极坐标下进行计算会更为简单，这一节将介绍如何进行这种转化，以及如何对极坐标方程进行二重积分。

极坐标系中的积分

在开始讨论矩形上的二重积分时，很自然地可以想到将区域划分为多个小矩形，（由于区域的边界值对应的 $x$ 或者 $y$ 坐标都为常数）。在极坐标平面上的区域内，对应的概念就是将区域划分为许多个 "polar rectangles"，它的边对应常量 $r$ 或 $\theta$ 值，此处只考虑 $r \ge 0$ 的坐标。

假定有函数 $f (r,\theta)$ 定义在由射线 $\theta = \alpha$，$\theta = \beta$ 以及连续曲线 $r = g_1 (\theta)$,$r = g_2 (\theta)$ 围成的区域上，假定 $0\le g_1 (\theta)\le g_2 (\theta) \le a$，区域 $R$ 将落在一个扇形的范围 $0 \le r \le a$，$\alpha \le \theta \le \beta$ 内。

这样一来可以将区域划分为许多个由弧和射线构成的网格，半径为 $\Delta r$, $2\Delta r$, …, $m\Delta r$，其中 $\Delta r = a/m$；射线为 $\theta = \alpha$, $\theta = \alpha+\Delta\theta$, $\theta = \alpha + 2\Delta\theta$, …, $\theta = \alpha + m’\Delta\theta=\beta$，其中 $\Delta\theta=(\beta -\alpha)/m’$。这一系列 partition 就是 "polar rectangles"。

同样是给这些 "polar rectangles" 编号，取 $(r_k,\theta_j)$ 为落在对应的 partition 内的一点，则黎曼和为

$$ S_n = \sum_{k=1}^n f(r_k,\theta_k)\Delta A_k. $$

同笛卡尔坐标系下类似，当 $\Delta r$ 与 $\Delta \theta$ 趋近于 0 时，黎曼和的极限就定义为区域上的二重积分：

$$ \lim_{n\rightarrow\infty} S_n = \iint_R f(r,\theta)dA. $$

为了计算出黎曼和，首先要把 $\Delta A_k$ 用 $\Delta r$ 与 $\Delta \theta$ 表示出来。方便起见，把 $r_k$ 定在 "polar rectangle" 内弧与外弧的中间。

这样一来 "polar rectangle" 的面积为

$$ \Delta A_k = \frac{1}{2}\left(r_k + \frac{\Delta r}{2}\right)^2 \Delta\theta - \frac{1}{2}\left(r_k - \frac{\Delta r}{2}\right)^2 \Delta\theta = r_k\Delta r\Delta\theta. $$

代换进黎曼和表达式，得到

$$ \lim_{n\rightarrow\infty} S_n = \iint_R f(r,\theta)rdrd\theta. $$

如果运用 Fubini 定理的话，可以进一步改写成

$$ \iint_R f(r,\theta)dA = \int_{\theta=\beta}^{\theta=\alpha} \int_{r=g_1(\theta)}^{r=g_2(\theta)} f(r,\theta)rdrd\theta. $$

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找到积分的上下界

直角坐标系中找积分上下界的方法在极坐标系中依然适用，按照先对 $r$ 积分再对 $\theta$ 积分的顺序，可以按这样的步骤进行：

1. 画图 - 画出要求积分的区域并且标记围成区域的曲线
2. 找到 $r$ 的积分上下限 - 从原点出发画一条射线穿过积分区域，分别标记进入、离开区域时的 $r$，即为对 $r$ 积分的上下限（一般是跟射线与 $x$ 轴正方向的夹角 $\theta$ 有关的式子）
3. 找到 $\theta$ 积分的上下限 - 包围求积分区域的最小和最大的 $\theta$ 边界值

极坐标系中的面积 极坐标系中封闭有界区域 $R$d 的面积为

$$ A = \iint_R rdrd\theta. $$

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将笛卡尔积分变换为极坐标积分

包含两个步骤：

1. 作代换 $x = r\cos\theta$ 以及 $y = r\sin\theta$，将 $dxdy$ 替换为 $rdrd\theta$
2. 在极坐标系中通过区域的边界找到积分上下限

$$ \iint_R f(x,y)dxdy = \iint_G f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta $$

代换的过程和 Calculus Ⅰ 中的换元积分无异。多元函数积分更加 general 的换元会在 15.8 中介绍。