高等数学（下）期末复习：15.5 直角坐标系下的三重积分
15.5 直角坐标系下的三重积分 [1]
相比于单积分，三重积分让我们可以处理一些更加 general 情况下的问题，如三维形状的体积，三维区域上的平均值等。三重积分还引出了矢量场[2] 和流量[3] 的问题，在 16 章中介绍。
三重积分
$F (x,y,z)$ 是定义在空间中有界封闭区域 $D$ 上的函数，要求 $F$ 在 $D$ 上的积分，首先还是要将区域进行切分。把区域分为许多立方体型的 "cell"，并且只取完全在区域内的 cell，将它们编号，每一个 cell 的体积为 $V_k=\Delta x_k\Delta y_k\Delta z_k$。取每一个 cell 内的点 $(x_k,y_k,z_k)$，三重积分对应的黎曼和为：
$$ S_n = \sum_{k=1}^n F(x_k,y_k.z_k)\Delta V_k. $$
同样，cell 的三维 $\Delta x_k$, $\Delta y_k$, $\Delta z_k$ 中最大的称之为 norm。如果无论怎样进行切分，当 norm 趋近于 0 时，黎曼和都收敛于同一个极限，那么 $F$ 在区域 $D$ 上就是可积的。实际上只要 $F$ 连续，并且围成区域 $D$ 的曲面是由有限个平滑的曲面连接成的，那么 $F$ 就是可积的。
当 norm 趋近于 0，cell 的数目趋近于无穷大时，黎曼和的极限称为 $F$ 在 $D$ 上的三重积分。
$$ \lim_{n\rightarrow\infty} S_n = \lim_{||P||\rightarrow 0} S_n = \iiint_D F(x,y,z)dxdydz. $$
能够使连续函数在其上可积的区域，称其有 "reasonably-smooth" 边界。
空间中区域的体积
如果令 $F$ 恒等于 1，那么黎曼和成为 cell 体积的和，极限最终将会趋近于所区域的总体积。
定义：空间中封闭、有界区域 $D$ 的体积为
$$ V = \iiint_D dV. $$
按 dz dy dx 的顺序找到积分的上下限
要求三重积分，也与二重积分一样，通过 Fubini 定理的空间形式将三重积分转换为累次积分，一个关键的问题就是找到积分的上下限。书中给出的推导是按照 $dz$, $dy$, $dx$ 的顺序进行的，调换顺序进行积分也类似。
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画图 - 画出区域 $D$ 以及它的 "shadow" R（在 $x\text {-} y$ 平面上的正投影），分别标记出围成 $R$ 的下方和上方的曲线
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找到对 $z$ 积分的上下限 - 过 $R$ 内的一点 $(x,y)$ 作一条沿着 $z$ 轴向上的直线，标记出这条直线进入、穿出区域 $D$ 时的值，这就是对 $z$ 积分的上下限
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找到对 $y$ 积分的上下限 - 做一条沿 $y$ 轴方向的直线穿过区域 $R$，分别标记它进入、离开区域 $R$ 时的值，即为对 $y$ 进行积分的上下限
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找到对 $x$ 积分的上下限 - 区域 $R$（也就是区域 $D$）所对应的最大、最小的 $x$ 值，即为对 $x$ 积分的上下限
最后的结果为
$$ \int_{x=a}^{x=b} \int_{y=g_1(x)}^{y=g_2(x)} \int_{z=f_1(x,y)}^{z=f_2(x,y)} F(x,y,z)dzdydx. $$
有必要时，可以调换积分的顺序，只需要找到在不同方向的 "shadow"。
空间中函数的均值
空间中函数的均值定义为
$$ \textbf{Average value}\text{ of } F \text{ over } D = \frac{\iiint_D FdV}{\iiint_D dV}. $$
三重积分的性质
同二重积分的代数性质相一致