高等数学（下）期末复习：16.2 矢量场与线积分：功、环流和通量
16.2 矢量场[1] 与线积分：功、环流[2] 和通量 [3]
重力和电场力等都既有大小又有方向，由此构成了矢量场。这一节有关于通过线积分计算在矢量场中移动物体时的做功。
矢量场
Generally，矢量场为一个为定义域内每个点都赋予一个矢量函数值的函数。三维空间中的矢量场形如
$$ \mathbf{F}(x,y,z) = M(x,y,z)\mathbf{i} + N(x,y,z)\mathbf{j} + P(x,y,z)\mathbf{k}. $$
如果 component functions$M$，$N$，$P$ 连续，则称该场连续；如果 component functions 可微，则称该场可微。二维条件下的矢量场形如
$$ \mathbf{F}(x,y) = M(x,y)\mathbf{i} + N(x,y)\mathbf{j}. $$
另一种形式的矢量场为之前的章节中提到的一条曲线的切向量 $\mathbf {T}$ 与法向量 $\mathbf {N}$，构成了这条曲线上的向量场。沿着曲线 $\mathbf {r}(t)$，可以将这一向量场参数化为
$$ \mathbf{v}(t) = f(t)\mathbf{i} + g(t)\mathbf{j} + h(t)\mathbf{k}. $$
如果对一个三元的标量函数取梯度 $\nabla f$，也会得到一个三维空间内的向量场。
梯度场
梯度向量描述的是一个标量函数在某一点变化最大的一个方向。我们定义梯度场为一个可微函数 $f (x,y,z)$ 的梯度向量构成
$$ \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}. $$
梯度场的线积分
假设有矢量场 $\mathbf {F}(x,y,z) = M (x,y,z)\mathbf {i} + N (x,y,z)\mathbf {j} + P (x,y,z)\mathbf {k}$，其具有连续的 components；假设曲线 $C$ 有连续的参数化 $\mathbf {r}(t) = g (t)\mathbf {i} + h (t)\mathbf {j} + k (t)\mathbf {k},a\le t\le b$。
在曲线上的每一点，都有一个前进方向 [4]，也即切线方向
$$ \mathbf{T} = \frac{\mathop{d\mathbf{r}}}{\mathop{ds}} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}. $$
直观来讲，矢量场对一条曲线的线积分，就是在这条曲线的前进方向上的积分，由内积给出
$$ \mathbf{F}\cdot\mathbf{T} = \mathbf{F}\cdot \frac{\mathop{d\mathbf{r}}}{\mathop{ds}} $$
定义：令 $\mathbf {F}$ 为一具有连续 component，且定义在可参数化为 $\mathbf {r}(t),a\le t\le b$ 的 smooth 曲线 $C$ 上的矢量场。则 $\mathbf {F}$ 沿 $C$ 的线积分为
$$ \int_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{T}\mathop{ds} = \int_C \left( \mathbf{F}\cdot\frac{\mathop{d\mathbf{r}}}{\mathop{ds}} \right)\mathop{ds} = \int_C \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}}. $$
Evaluate $F = _M_i + Nj + Pk$ 沿 % C: r (t) = g (t) i + h (t) j + k (t) k$ 的线积分
- 将矢量场通过坐标的参数代换表达为 $\mathbf {F}(\mathbf {r}(t))$
- 找到导函数（速度）向量 $\mathop {d\mathbf {r}}/\mathop {dt}$
- 对参数 $t$ 求线积分，得到
$$ \int_C \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \frac{\mathop{d\mathbf{r}}}{\mathop{dt}}\mathop{dt}. $$
对 dx, dy, dz 的线积分
在实际应用中，经常需要计算矢量场在某一分量上的积分，例如 $\displaystyle\int_C M\mathop {dx}$。首先定义出只在一个分量方向上的矢量场 $\mathbf {F} = M (x,y,z)\mathbf {i}$，再对曲线积分
$$ \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} = \mathbf{F}\cdot \frac{\mathop{d\mathbf{r}}}{\mathop{dt}}\mathop{dt} = M(x,y,z)g’(t)\mathop{dt} = M(x,y,z)\mathop{dx}. $$
其他的分量在作内积时都变成 $\mathbf {0}$ 了，只剩下我们所需要的这个分量。所需要的积分可以简写为
$$ \int_C M(x,y,z)\mathop{dx} = \int_a^b M(g(t),h(t),k(t))g’(t)\mathop{dt} $$
不同分量上的积分组合时，可以简写为
$$ \int_C M(x,y,z)\mathop{dx} + \int_C N(x,y,z)\mathop{dy} + \int_C P(x,y,z)\mathop{dz} = \int_C M\mathop{dx} + N\mathop{dy} + P\mathop{dz}. $$
力沿空间中曲线做的功
这部分推导太简单，并且大物里也有
$$ \begin{aligned} W = & \int_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{T}\mathop{ds} & \text{The definition} \ = & \int_C \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} & \text{Vector differential form} \ = & \int_a^b \mathbf{F}\cdot \frac{\mathop{d\mathbf{r}}}{\mathop{dt}} & \text{Parametric vector evaluation} \ = & \int_a^b [Mg’(t) + Nh’(t) + Pk’(t)]\mathop{dt} & \text{Parametric scalar evaluation} \ = & \int_C M\mathop{dx} + N\mathop{dy} + P\mathop{dz} & \text{Scalar differential form} \end{aligned} $$
速度场的流量[5] 积分与环流
定义：若 $\mathbf {r}(t)$smooth 地参数化连续速度场 $\mathbf {F}$ 定义域中的曲线 $C$，则沿曲线从 $A=\mathbf {r}(a)$ 到 $B=\mathbf {r}(b)$ 的流量为
$$ \text{Flow} = \int_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{T}\mathop{ds}. $$
这一积分称作流量积分，若曲线封闭，即 $A = B$，则流量被称作沿曲线的环流
如果以相反的方向计算流量，$\mathbf {T}$ 将会反向，结果也会反向。
穿过简单[6] 封闭[7] 平面曲线的通量
如果一条平面上的曲线不与它自身交叉，则称这条曲线是简单的。如果曲线起始、结束于同一点，则称这条曲线为封闭曲线或环[8]。为了描述流体进入或离开由光滑曲线围绕的区域的程度，可以计算 $C$ 上的线积分 $\mathbf {F}\cdot\mathbf {n}$。只有正交方向上的量与通量相关联，可以忽略切线方向上的分量。
定义：若 $C$ 为定义在连续矢量场 $\mathbf {F} = M (x,y)\mathbf {i} + N (x,y)\mathbf {j}$ 定义域平面内的光滑曲线，且 $\mathbf {n}$ 为指向外部的 $C$ 的单位法向量，则 $\mathbf {F}$ 穿过 $C$ 的通量为
$$ \text{Flux of }\mathbf{F}\text{ across } C = \int_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\mathop{ds}. $$
要计算通量，首先要找到单位法向量，可以通过单位切向量 $\mathbf {T}$ 与垂直于平面的单位向量 $\mathbf {k}$ 作叉乘来得到。但是，叉乘的先后顺序与曲线的环流方向有关。
在逆时针的条件下，法向量为
$$ \mathbf{n} = \mathbf{T}\times\mathbf{k} = \left( \frac{\mathop{dx}}{\mathop{ds}}\mathbf{i} + \frac{\mathop{dy}}{\mathop{ds}}\mathbf{j} \right)\times\mathbf{k} = \frac{\mathop{dy}}{\mathop{ds}}\mathbf{i} - \frac{\mathop{dx}}{\mathop{ds}}\mathbf{j}. $$
矢量场为 $\mathbf {F} = M (x,y)\mathbf {i} + N (x,y)\mathbf {j}$，则
$$ \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = M(x,y)\frac{\mathop{dy}}{\mathop{ds}} - N(x,y)\frac{\mathop{dx}}{\mathop{ds}}. $$
则有
$$ \int_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\mathop{ds} = \int_C \left( M\frac{\mathop{dy}}{\mathop{ds}} - N\frac{\mathop{dx}}{\mathop{ds}} \right)\mathop{ds} = \oint\limits_C M\mathop{dy} - N\mathop{dx}. $$
（环路积分号上还有个箭头符号，没打出来）