高等数学（下）期末复习：16.3 Path Independence、保守场与势函数
16.3 Path Independence、保守场[1] 与势函数 [2]
重力场和电场中，移动一定质量或电荷所做的功都与移动的路径无关，而只依赖于起点和重点。这一节有关于具有这种性质的矢量场，以及计算与之相关的做功的积分。
Path Independence
定义：$\mathbf {F}$ 为定义在空间中开放区域 $D$ 上的矢量场，假定对于 $D$ 中任意的 $A$、$B$ 两点，从 $A$ 到 $B$ 的线积分 $\displaystyle\int_C \mathbf {F}\cdot\mathop {d\mathbf {r}}$ 都与路径无关。则称积分 $\displaystyle\int_C \mathbf {F}\cdot\mathop {d\mathbf {r}}$ 在 $\boldsymbol{D}$ 上 path independent，并且场 $\mathbf {F}$ 在 $D$ 上保守。
定义：若 $\mathbf {F}$ 为定义在 $D$ 上的矢量场，且存在某个 $D$ 上的标量函数 $f$，使得 $\mathbf {F} = \nabla f$，则 $f$ 称为 $\mathbf {F}$ 的势函数
如果找到了势函数，就能以另一种方式 evaluate 线积分
$$ \int_A^B \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} = \int_A^B \nabla f\cdot\mathop{d\mathbf{r}} = f(B) - f(A). $$
这个式子是微积分基本定理的翻版。
对曲线、矢量场与定义域的假定
要让接下来的一些结论成立，需要对所考虑的曲线、曲面、定义域和矢量场的一些性质作一些预设。
- 曲线必须为 piecewise smooth，也就是由有限的光滑曲线首尾衔接而成
- 定义域必须为 connected，即定义域内任意两点都可以由一条光滑曲线相连接
- 某些结论要求定义域必须为 simply connected，即定义域内的任意一个 loop，都可以在不离开定义域的前提下缩小为一个点
保守场中的线积分
梯度场 $F$ 可以由对标量函数 $f$ 求导得到，类似于微积分基本定理，可以得到如下定理
定理 1：线积分基本定理 令 $C$ 为连接点 $A$ 与点 $B$ 的可被参数化为 $\mathbf {r}(t)$ 的光滑曲线；令 $f$ 为定义在包含 $C$ 的定义域内的具有连续梯度向量 $\mathbf {F} = \nabla f$ 的可导函数，则
$$ \int_C \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbb{r}} = f(B) - f(A). $$
- 定理 1 的证明
$$ \begin{aligned} \int_C \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} & = \int_A^B \nabla f\cdot\mathop{d\mathbf{r}} \ & = \int_{t=a}^{t=b} \nabla f(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\mathop{dt} \ & = \int_a^b \frac{\mathop{d}}{\mathop{dt}} f(\mathbf{r}(t))\mathop{dt} \quad\text{Recall total differential in 14.5} \ & = f(\mathbf{r}(b)) - f(\mathbf{r}(a)) \ & = f(B) - f(A) \end{aligned}. $$
关于梯度和全微分之间的变换是最 tricky 的一环，展开再写一下：
$$ \begin{aligned} \frac{\mathop{d}}{\mathop{dt}} f(\mathbf{r}(t)) = & \frac{\mathop{d}}{\mathop{dt}} f(g(t),h(t),k(t)) \ = & \frac{\partial f}{\partial g}\frac{dg}{dt} + \frac{\partial f}{\partial h}\frac{dh}{dt} + \frac{\partial f}{\partial k}\frac{dk}{dt} \ = & \langle \frac{\partial f}{\partial g}\mathbf{i}, \frac{\partial f}{\partial h}\mathbf{j}, \frac{\partial f}{\partial k}\mathbf{k} \rangle\cdot \langle \frac{dg}{dt}\mathbf{i}, \frac{dh}{dt}\mathbf{j}, \frac{dk}{dt}\mathbf{k} \rangle \ =& \nabla f(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t). \end{aligned} $$
定理 2：保守场都是梯度场 >$\mathbf {F} = M\mathbf {i} + N\mathbf {j} + P\mathbf {k}$ 为空间中一个 open connected 区域上的矢量场，且 component 连续，则当且仅当 $\mathbf {F}$ 为某一个可微函数 $f$ 的梯度场 $\nabla f$ 时，$\mathbf {F}$ 为保守场。
- 定理 2 的证明
目标：对于每一个保守场 $\mathbf {F}$，都找到一个对应的 $f$，使得 $\mathbf {F} = \nabla f$。
首先，找到一个点 $A$，定义 $f (A)=0$；再找到一个点 $B$，定义 $f (B) = \int_C \mathbf {F}\cdot\mathop {d\mathbf {r}}$，其中 $C$ 为连接 $A$、$B$ 两点的任意的路径。
为了证明定理 2，需要对 $f$ 求偏导数。
假定 $B$ 的坐标为 $(x,y,z)$，在 $B$ 附近的一个点为 $B_0 (x_0,y,z)$，其上的函数值为 $f (B_0) = \int_{C_0} \mathbf {F}\cdot\mathop {d\mathbf {r}}$。
取一条路径 $C = C_0\cup L$，也就是从 $A$ 到 $B$ 的路径接上 $B$ 到 $B_0$ 的线段。当 $B_0$ 与 $B$ 的距离很近时，$L$ 肯定也在定义域内。根据可加性，有
$$ f(x,y,z) = \int_{C_0} \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} + \int_L \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}}. $$
求偏导，得到
$$ \frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left( \int_{C_0} \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} + \int_L \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} \right) = \frac{\partial}{\partial x} \int_L \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}}. $$
将 $L$ 参数化为 $\mathbf {r}(t) = t\mathbf {i} + y\mathbf {j} + z\mathbf {k},x_0\le t\le x$（因为 $B_0$ 相对于 $B$ 只在 $x$ 方向有移动），则 $\mathop {d\mathbf {r}}/\mathop {dt}=\mathbf {i}$，$\mathbf {F}\cdot\mathop {d\mathbf {r}}/\mathop {dt}=M$，进一步得到
$$ \frac{\partial}{\partial x} f(x,y,z) = \frac{\partial}{\partial x} \int_{x_0}^x M(t,y,z)\mathop{dt} = M(x,y,z). $$
同理可以在其他几个方向进行证明。
定理 3：保守场的 Loop 性质 以下两个表述等价：
- $\oint_C \mathbf {F}\cdot\mathop {d\mathbf {r}}=0$ 对任意一个 $D$ 上的 loop 都成立
- $\mathbf {F}$ 在 $D$ 上保守
- 定理 3 Pt.1 ⇒ Pt.2 证明
取一个 loop 的两部分 $C_1$ 和 $C_2$
$$ \int_{C_1} \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} - \int_{C_2} \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} = \int_{C_1} \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} + \int_{-C_2} \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} = \int_{C} \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} = 0 $$
- 定理 3 Pt.2 ⇒ Pt.1 证明
$$ \oint\limits_C \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} = \oint\limits_{C_1} \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} + \oint\limits_{C_2} \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} = \int_A^B \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} - \int_A^B \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} = 0 $$
思路同样是将一个环路拆成两部分。
找到保守场的势
保守场的分量判别[3] >$\mathbf {F}=M (x,y,z)\mathbf {i}+N (x,y,z)\mathbf {j}+P (x,y,z)\mathbf {k}$ 为 simply connected 定义域上的矢量场，且其分量都有连续的一阶偏导数，则 $\mathbf {F}$ 保守的充要条件为
$$ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial z}, \quad \frac{\partial M}{\partial z} = \frac{\partial P}{\partial x}, \quad\text{and}\quad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial M}{\partial y}. $$
也就是交叉求偏导数，结果相等。
- 证明
存在势函数 $f$ 则有
$$ \mathbf{F} = M\mathbf{i} + N\mathbf{j} + P\mathbf{k} = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}. $$
则有
$$ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial z} \right) = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} = \frac{\partial^2 f}{\partial z \partial y} = \frac{\partial}{\partial z}\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) = \frac{\partial N}{\partial z}. $$
通过保守场和原函数偏导数的关系，再结合混合偏导数定理证明。
Exact 微分形式 [4]
定义：形如 $M (x,y,z)\mathop {dx}+N (x,y,z)\mathop {dy}+P (x,y,z)\mathop {dz}$ 为微分形式；微分形式为 exact 当
$$ M\mathop{dx} + N\mathop{dy} +P\mathop{dz} = \frac{\partial f}{\partial x}\mathop{dx} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathop{dy} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathop{dz} = \mathop{df} $$
$f$ 为定义域上的标量函数
有点类似于前面提到的保守场的问题（不就是同一个概念吗）
微分形式 Exactne 的分量判别 simply connected 定义域上的微分形式 $M\mathop {dx} + N\mathop {dy} +P\mathop {dz}$ 为 exact 的充要条件为
$$ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial z}, \quad \frac{\partial M}{\partial z} = \frac{\partial P}{\partial x}, \quad\text{and}\quad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial M}{\partial y}. $$
等价于场 $\mathbf {F}=M\mathop {dx} + N\mathop {dy} +P\mathop {dz}$ 保守