高等数学（下）期末复习：16.4 平面上的格林定理
16.4 平面上的格林定理 [1]
对于保守场上的线积分，既可以直接通过在路径上积分计算，也可以找到势函数再计算。这一节有关于一种在平面上的封闭路径上，将非保守场的路径积分转化为二重积分来计算的方法。
绕轴旋转：旋度[2] 的 k 分量
假定有平面上的流体速度场 $\mathbf {F}(x,y)=M (x,y)\mathbf {i}+N (x,y)\mathbf {j}$，
在这个小矩形上，要计算矢量场的路径积分，可以分别计算四条边（都与坐标轴平行）上的积分，再相加，略过过程，结果为
$$ \left( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} \right)\Delta x\Delta y. $$
很自然地想到将这个结果与 partition 的面积作比值
定义：矢量场 $\mathbf {F}=M\mathbf {i}+N\mathbf {j}$ 在点 $(x,y)$ 处的环流密度[3] 为
$$ \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}. $$
这一表达式也称为旋度的 k 分量，表示为 $(\text {curl}\mathbf {F}\cdot\mathbf {k})$。
这一量的符号与赝矢量的符号判别相统一。
根据矢量场的旋度 k 分量的不同，有几种典型的表现
- Uniform Expansion
- Rotation
- Shear
- Whirlpool
散度 [4]
与前一部分讨论的旋度类似，散度所要计算的是 “向外发散” 的程度，因此需要计算矢量场在各条边上垂直分量的积分。直接给出最后的散度定义
定义：矢量场 $\mathbf {F}=M\mathbf {i}+N\mathbf {j}$ 在点 $(x,y)$ 处的散度（通量密度）为
$$ \text{div }\mathbf{F} = \frac{\partial M}{\partial x} + \frac{\partial N}{\partial y}. $$
格林定理的两种形式
定理 4：格林定理（环流 - 旋度或切向形式） >$C$ 为 piecewise smooth，simple closed 曲线，在平面上围成区域 $R$；矢量场 $\mathbf {F}=M\mathbf {i}+N\mathbf {j}$ 的分量有连续的一阶偏导数，在 $R$ 上有定义。则 $\mathbf {F}$ 围绕 $C$ 的逆时针环流等于 $(\text {curl}\mathbf {F}\cdot\mathbf {k})$ 在 $R$ 上的二重积分
$$ \oint\limits_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{T}\mathop{ds} = \oint\limits_C M\mathop{dx} + N\mathop{dy} = \iint\limits_R \left( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} \right) \mathop{dx}\mathop{dy}. $$
定理 5：格林定理（通量 - 散度或法向形式） >$C$ 为 piecewise smooth，simple closed 曲线，在平面上围成区域 $R$；矢量场 $\mathbf {F}=M\mathbf {i}+N\mathbf {j}$ 的分量有连续的一阶偏导数，在 $R$ 上有定义。则 $\mathbf {F}$ 穿过 $C$ 的外向通量等于 $\text {div}\mathbf {F}$ 在 $R$ 上的二重积分
$$ \oint\limits_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\mathop{ds} = \oint\limits_C M\mathop{dx} + N\mathop{dy} = \iint\limits_R \left( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} \right) \mathop{dx}\mathop{dy}. $$
特殊区域上的格林定理证明
假如有这样的一个 $xy$ 平面上的简单封闭曲线 $C$，任何一条平行于坐标轴的直线最多与其交与两点，其包围的区域为 $R$，环流 - 旋度形式格林定理可以表述为如下：
$$ \oint\limits_C M\mathop{dx} +N\mathop{dy} = \iint\limits_R \left( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} \right)\mathop{dx}\mathop{dy}. $$
凡是满足这个条件的区域都可以认为是有两条函数图象围成的：
$$ C_1:\quad y=f_1(x),\quad a\le x\le b, \quad C_2:\quad y=f_2(x),\quad b\ge x\ge a. $$
对于任意的 $x$，将 $\mathop {\partial M}/\mathop {\partial y}$ 对 $y$ 积分
$$ \left. \int_{f_1(x)}^{f_2(x)} \frac{\partial M}{\partial y}\mathop{dy} = M(x,y) \right]_{y=f_1(x)}^{y=f_2(x)} = M(x,f_2(x)) - M(x,f_1(x)). $$
再将其对 $x$ 积分
$$ \begin{aligned} \int_a^b \int_{f_1(x)}^{f_2(x)} \frac{\partial M}{\partial y}\mathop{dy}\mathop{dx} = & \int_a^b [M(x,f_2(x)) - M(x,f_1(x))]\mathop{x} \ = & -\int_b^a M(x,f_2(x))\mathop{dx} -\int_b^a M(x,f_1(x))\mathop{dx} \ = & -\int_{C_2} M\mathop{dx} -\int_{C_1} M\mathop{dx} \ = & -\int_{C} M\mathop{dx} \end{aligned} $$
提出负号，得到
$$ \oint\limits_C N\mathop{dx} = \iint\limits_R \left( -\frac{\partial M}{\partial y} \right)\mathop{dx}\mathop{dy}. $$
同理可以得到格林定理的另一部分
REMARK：似乎在这一节里，大部分证明的思路都与将一个 loop 分成两部分分别计算有关？