高等数学（下）期末复习：16.5 曲面与面积
之前提到的平面上的曲线定义有以下几种形式
| 名称 | 数学表达 |
|---|---|
| 显式 | $y=f(x)$ |
| 隐式 | $F(x,y)=0$ |
| 参数化矢量形式 | $\mathbf{r}(t)=f(t)\mathbf{i}+g(t)\mathbf{j},\quad a\le t\le b.$ |
空间中的曲线也有几种表达形式
| 名称 | 数学表达 |
|---|---|
| 显式 | $z=f(x,y)$ |
| 隐式 | $F(x,y,z)=0$ |
曲面的参数化
假定有定义在 $uv$ 平面钟区域 $R$ 上的连续矢量函数
$$ \mathbf{r}(u,v) = f(u,v)\mathbf{i} + g(u,v)\mathbf{j} + h(u,v)\mathbf{k}. $$
则称 $\mathbf {r}$ 的 range 为由 $\mathbf {r}$ 定义或 traced 的曲面，变量 $u$，$v$ 称为参数，$R$ 为参数定义域。
也可以分别携程三个坐标的形式
$$ x = f(u,v), \quad y = g(u,v), \quad z = h(u,v). $$
要求矢量和 $R$ 内部的点能一一映射
曲面面积
目标是基于参数方程找到利用二重积分计算曲面面积的方法！首先需要确保曲面为光滑。
$$ \begin{aligned} & \mathbf{r}_u = \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial u}\mathbf{i} + \frac{\partial g}{\partial u}\mathbf{j} + \frac{\partial h}{\partial u}\mathbf{k} \ & \mathbf{r}_v = \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial v}\mathbf{i} + \frac{\partial g}{\partial v}\mathbf{j} + \frac{\partial h}{\partial v}\mathbf{k}. \end{aligned} $$
定义：当 $\mathbf {r}_u$ 与 $\mathbf {r}_v$ 为连续且 $\mathbf {r}_u \times\mathbf {r}_u$ 对参数定义域内任意一点均不为零时，该曲面光滑。
曲线参数方程的两个偏导数不为零且不共线，也即它们总能定义一个与曲面相切的平面。
考虑参数定义域 $R$ 上的一个小矩形 $\Delta A_{uv}$，它的每条边都会映射到曲面上的一条曲线，构成一个 "curved patch element" $\Delta\sigma_{uv}$
接下来用切平面上的平行四边形对 surface patch element 的面积进行估计
$$ |\Delta u\mathbf{r}_u\times\Delta v\mathbf{r}_u| = |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|\Delta u\Delta v. $$
接下来又是对黎曼和取极限，得到积分的老套路了。
定义：光滑曲面
$$ \mathbf{r}(u,v) = f(u,v)\mathbf{i} + g(u,v)\mathbf{j} + h(u,v)\mathbf{k},\quad a \le u \le b,\quad c \le v \le d $$
的面积为
$$ A = \iint\limits_R |\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v|\mathop{dA} = \int_c^d\int_a^b |\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v|\mathop{du}\mathop{dv}. $$
参数曲面的曲面面积 Differential
$$ \mathop{d\sigma} = |\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v|\mathop{du}\mathop{dv}\quad \iint\limits_S \mathop{d\sigma} $$
隐[1] 曲面
曲面也可以表示为函数的 level sets，例如 $F (x,y,z)=c$，其中 $c$ 为某个常数。
有曲面 $F (x,y,z)=c$ 定义在 "shadow" 区域 $R$ 的上方，假定该曲面光滑（$F$ 可微，$\nabla F$ 非零且连续），$\mathbf {p}$ 为 $R$ 的单位法向量。
再假定 $\mathbf {p}=\mathbf {k}$，也就是 $R$ 位于 $xy$ 平面上，根据之前的假定有 $\nabla F\cdot\mathbf {p}=\nabla F\cdot\mathbf {k}=F_z\ne0$
Implicit ↩︎